王少清 任中京 張希明 何芳 江海鷹

山東建筑材料工業(yè)學(xué)院，濟(jì)南 250022

摘要：介紹一種計(jì)算Mie散射系數(shù)的新方法，給出計(jì)算實(shí)例。

關(guān)鍵詞：Mie散射 Mie系數(shù) Mie計(jì)算

Study of calculating method of mie scattering coefficient

Wang shaoqing   Ren zhongjing  Zhang ximing  Hefang  Jianghaiying

(Shangdong  lnstitute of building materiele.Jinan 25022)

Abstract: A new method of calculating mie coefficient is introduced,and calculating examples are                   given

Keywords :Mie scattering ,Mie coefficient ,Mie calculation

1引言

Mie理論是球形顆粒對(duì)單色光的散射場(chǎng)分布的嚴(yán)格解析解。目前在環(huán)保、動(dòng)力、氣象、天文、兩相流及粉體顆粒尺寸分布測(cè)量等工程技術(shù)領(lǐng)域中有廣泛的應(yīng)用。利用單一顆粒或顆粒群光散射場(chǎng)的測(cè)量數(shù)據(jù), 可以反推得散射顆粒或顆粒群的很多物理性質(zhì), 如顆粒的尺寸和顆粒的折射率等。但反推前必須事先計(jì)算出各種尺寸的顆粒在各種復(fù)折射率下的散射場(chǎng)分布數(shù)據(jù)。由于散射解十分復(fù)雜, 故雖然其解折表達(dá)式早在年速、準(zhǔn)確計(jì)算, 以滿足工程測(cè)量, 尤其是在線式工程測(cè)量方面的需要, 一直是多年來(lái)沒(méi)有得到*解決的一個(gè)難題。

1968年Davezui先報(bào)道了完整的Mie散射計(jì)算方法，又針對(duì)部分計(jì)算提出新算法。國(guó)內(nèi)也有人發(fā)表了他們自己的算法。但總的看來(lái), 這些算法均有各自的局限性。尤其是當(dāng)顆粒尺寸或折射率的虛部值較大時(shí), 往往計(jì)算速度過(guò)慢或產(chǎn)生溢出和不收斂等現(xiàn)象。本文介紹散射新算法。該算法的特點(diǎn)是不受顆粒尺寸及折射率的限制, 不會(huì)產(chǎn)生溢出和不收斂現(xiàn)象, 且具有較快的計(jì)算速度。

2 Mie散射系數(shù)的計(jì)算公式

Mie散射計(jì)算的中心問(wèn)題是計(jì)算Mie散射系數(shù)an和bn，其表達(dá)式為

其中，a為顆粒的尺寸參數(shù)，定義為

D為顆粒的直徑，為入射光在顆粒周?chē)橘|(zhì)中的波長(zhǎng)，而m為顆粒在周?chē)橘|(zhì)中的相對(duì)復(fù)折射率，即

式中，Jn+1和Nn+1分別為半整數(shù)階的*類(lèi)和第二類(lèi)貝塞爾函數(shù)。

以上是計(jì)算Mie散射系數(shù)的基本公式。與Mie散射有關(guān)的物理量如散射場(chǎng)強(qiáng)度、顆粒的消光系數(shù)、散射系數(shù)和吸收系數(shù)、散射光中兩偏振分量的相差、顆粒群的比濁度、不對(duì)稱(chēng)因子等）均可利用Mie散射系數(shù)求得。

3 計(jì)算產(chǎn)生溢出的原因

計(jì)算M ie 散射系數(shù)須先計(jì)算和一般采用遞推法。遞推又分為向前遞推(即從n=0開(kāi)始) 與向后遞推(即從n=N 開(kāi)始至n=0為頂先設(shè)定值)。實(shí)驗(yàn)表明, 向前遞推總是快于向后遞推。

分析（8）（9）兩式可知，當(dāng)時(shí)，若顆粒尺寸d 很大或復(fù)折射率的虛部值m2很大, 將使得乘積m2d很大, 可能使(8)(9)兩式中的項(xiàng)的值超過(guò)計(jì)算機(jī)的數(shù)據(jù)限, 從而產(chǎn)生溢出。這是產(chǎn)生溢出的zui要原因。另外在遞推過(guò)程中, 不恰當(dāng)?shù)乃惴ㄒ部赡茉斐梢绯觥?/font>

4 an和bn的新算法

為解決上述問(wèn)題，作者提出了新算法。將an和bn公式變形如下，令

（12）~（15）式應(yīng)采用比值形式，即四個(gè)公式中的后半段形式，這樣可避免遞減過(guò)程中a1與b1較大時(shí)乘法運(yùn)算可能產(chǎn)生的溢出。

均為實(shí)變量函數(shù)，計(jì)算計(jì)不會(huì)產(chǎn)生溢出。關(guān)鍵是
的算法如何處理才能保證計(jì)算中不產(chǎn)生溢出。Lentz算法采用連分式計(jì)算Lm值，其精度是由在大量計(jì)算基礎(chǔ)上得出一個(gè)截?cái)囗?xiàng)數(shù)N與參數(shù)a及m的經(jīng)驗(yàn)公式而實(shí)現(xiàn)的。這樣的經(jīng)驗(yàn)公式一則有實(shí)用上的局限性，再則也會(huì)帶來(lái)截?cái)嗾`差。文獻(xiàn)對(duì)此經(jīng)驗(yàn)公式作了改進(jìn)，但扔限于a=1-100，m1=1-2，m2=0-1的范圍。下面介紹本文作者發(fā)表的關(guān)于Ln的新算法。該算法的特點(diǎn)是不受a及m值的限制，不會(huì)產(chǎn)生溢出或不收斂等病態(tài)現(xiàn)象，且具有較快的計(jì)算速度。令

上面導(dǎo)出的（10）~（38）構(gòu)成Mie系數(shù)an和bn是從n=1開(kāi)始計(jì)算的，利用初值公式（34）~（38）式即可算得任意級(jí)數(shù)an和bn的值，故沒(méi)有舍入誤差問(wèn)題。從（34）式可見(jiàn)，因?yàn)?/font>y=m2a<0,故無(wú)論m2和a取何值均不會(huì)產(chǎn)生初值溢出：又（12）~（16）各式采用了比的形式，避免了計(jì)算過(guò)程中溢出，這就從根本上解決了溢出的問(wèn)題。再者，本算法屬于向前遞推。

5 計(jì)算實(shí)例

利用以上算法編制計(jì)算顆粒散射強(qiáng)度和消光系數(shù)的計(jì)算程序。當(dāng)單位振幅波長(zhǎng)為的平面自然光入射到顆粒上時(shí)，顆粒的散射光強(qiáng)為

徑d=0.001μm、1.0μm、30μm和100μm，而圖1（d）、（e）為圖（b）、（c）的局部放大圖。

可見(jiàn)，隨著顆粒尺寸的增大，前向投射迅速加強(qiáng)，（如圖1（a）、（b）和（c）所示）；并且隨著顆粒尺寸的增大，出現(xiàn)了復(fù)雜的旁瓣及明顯的后向散射現(xiàn)象。圖2為顆粒的散射光電分布隨折射率實(shí)部與虛部的變化情況。可見(jiàn)，隨著m1和m2的增大，雖然顆粒尺寸不變，散射光也加強(qiáng)，且后向散射逐漸增強(qiáng)。

圖3 (a )、(b) 為消光系數(shù)的計(jì)算結(jié)果。其圖3 (a) 表示消光系數(shù)隨折射率實(shí)部的變化；圖3 (b ) 表示消光系數(shù)隨折射率虛部的變化。可見(jiàn)隨著顆粒尺寸的增大，消光系數(shù)趨近于2。而折射率的增大，尤其是折射率虛部的增大，使這一趨勢(shì)變得更快和更明顯；另外，折射率虛部M2不等于0時(shí)，消光系數(shù)的振蕩迅速消失。